Wyobraźmy sobie jakąś krzywą narysowaną na płaszczyźnie, w szczególności to może być linia prosta lub okrąg. Jeśli umieścimy na tej płaszczyźnie układ współrzędnych kartezjańskich X,Y, to możemy spróbować opisać tę krzywą przy pomocy funkcji y(x). Przykładem takiej funkcji może być równanie y = x (jest to funkcja liniowa). Innymi słowy, mając taką funkcję możemy wyliczyć wartość y w zależności od wartości x.
Bardzo często jednak spotkamy się z sytuacją, gdzie do opisu krzywych w przestrzeni stosuje się równania parametryczne. Przykładowo, w kinematyce ruch na płaszczyźnie może być opisany dwoma równaniami określającymi współrzędne poruszającego się punktu w zależności od czasu t. Innymi słowy podaje się dwie zależności: x(t) oraz y(t). Mając takie dwa równania parametryczne możemy dla dowolnej chwili czasu t określić punkt w jakim znajduje się ciało poruszające się po płaszczyźnie. Przykładowo: niech x(t) = t oraz y(t) = 2•t. Z tych równań widać, że punkt przesuwa się w kierunku Y dwa razy szybciej niż w kierunku wyznaczonym przez oś X. Akurat w tym przykładzie można się pokusić o proste przekształcenia:
Rozpatrzmy teraz ruch punktu na płaszczyźnie opisany dwoma następującymi równaniami parametrycznymi:
Wzdłuż osi X punkt wykonuje drgania z częstotliwością fx i amplitudą x0, a wzdłuż osi Y punkt ten drga z częstotliwością fy i amplitudą y0. Wielkości Φx oraz Φy to tak zwane kątowe przesunięcia fazowe.
Zatem, powyższe dwa równania parametryczne opisują ruch punktu wykonującego drgania harmoniczne w dwóch wzajemnie prostopadłych kierunkach X,Y.
Krzywa Lissajous to krzywa przedstawiająca tor tak poruszającego się punktu na płaszczyźnie.
Zbadajmy eksperymentalnie tor punktu, którego ruch jest opisany równaniami parametrycznymi jak wyżej. Ustaw parametry drgań punktu wzdłuż osi X oraz Y. Wówczas na wykresie poniżej punkt znajdzie się w położeniu początkowym danym równaniami:
|
Amplituda x0 = Częst. fx = Przesunięcie Φx = deg |
Amplituda y0 = Częst. fy = Przesunięcie Φy = deg |
|
|---|---|---|
Uwaga
To jest tylko symulator, zatem nie spodziewaj się, że będziesz obserwował ruch punktu na ekranie wzdłuż osi X i Y dokładnie z częstotliwością jaką ustawisz. Istotne jest aby krzywa po jakim porusza się punkt odwzierciedlała ruch o ustalonych parametrach.
We wzorach powyżej, argumenty funkcji sinus, w tym przesunięcia kątowe Φx oraz Φy , należy wyrażać w radianach (rad - miara łukowa kąta). Dla wygody użytkownika w sekcji ustawiania parametrów wpisuje się wielkości przesunięć kątowych wyrażając je w stopniach (deg - miara stopniowa kąta).
Zauważ, że: 360 deg = 2π rad.
Liczba π to stała Archimedesa, w przybliżeniu π ≈ 3,14.
Poniżej jest kalkulator do przeliczania miar kątów.
W laboratorium elektronicznym krzywe Lissajous można wygenerować na ekranie oscyloskopu, pracującego w trybie XY. Dawniej bardzo często wykorzystywano to do badania różnic faz lub częstotliwości pomiędzy dwoma sygnałami elektrycznymi. Jeden z sygnałów pochodził z laboratoryjnego genertora i miał dobrze określone parametry, w szczególności amplitudę i częstotliwość. Z kształtu otrzymanej krzywej Lissajous określano parametry drugiego sygnału, który był przedmiotem badania.
