JanusBac

Obwód RC

Obwody RC mogą być zasilane źródłami napięcia stałego. Poniżej jest schemat bardzo prostego obwodu RC - jest to obwód z jednym rezystorem R oraz kondensatorem C i stałą w czasie siłą elektromotoryczną E.

Wyobraź sobie, że w chwili t = 0 zamykamy klucz (przełącznik). Kiedy klucz zostanie zamknięty, kondensator będzie ładowany. Napięcie na kondensatorze, które jest zależne od czasu, można znaleźć stosująć drugie prawo Kirchhoff'a (patrz poniżej na wzór 1).
Rozważenie wszystkich zależności w tym obwodzie wymaga rozwiązania równania różniczkowego (spójrz na równanie 2).

Ja przytoczyłem tu gotowe rozwiązania (wzory: 3, 4 and 5). To są ekspotencjalne funkcje (e jest liczbą Euler'a - stała matematyczna w przybliżeniu równa 2.72). Wzór 3 I(t) opisuje wartość natężenia prądu w obwodzie, U_R(t) opisuje wartość napięcia na rezystancji R oraz U_C(t) jest napięciem na kondensatorze C w funkcji czasu t. Poniżej jest wykres funkcji U_C(t)) gdzie E = 10V, R = 1kΩ; C = 5uF.

W rozważanym obwodzie mamy maksymalną wartość natężenia prądu równą I₀ oraz zerowe napięcie U_C0 na kondensatorze w chwili czasu t = 0 - to wynika z wzorów 3 oraz 5. Z wzoru 3 widać, że I₀ jest równe E/R.
Czas potrzebny aby wartość natężenia prądu I(t) w tym obwodzie spadła do wartości I₀/e nazywamy stałą czasową RC i można ją wyrazić następującym wzorem:   τ = RC.
Parametr τ wyraża się w sekundach jeśli tylko wyrazimy R w omach a C w faradach. Wykres powyżej został sporządzony dla obwodu gdzie τ jest równe 5 msec - 1 ms jest jedną tysięczną sekundy (0.001 lub 10⁻³ albo 1/1000) sekundy.
Z wzoru 5 łatwo obliczyć, że po czasie τ napięcie na kondensatorze C wzrośnie do wartości U_C(τ) = 0.63E (to można zobaczyć na wykresie).

______ ______

Wiecie już dostatecznie dużo o ładowaniu kondensatorów, zatem czas na eksperyment.
Jak można wykonać eksperyment?
•  Użyj mojego laboratorium online.
•  Oczywiście taki eksperyment można też wykonać w laboratorium szkolnym - spójrz Foto.

Zakładam, że zmierzyłeś napięcie na kondensatorze jako funkcję czasu - masz tabelę z eksperymentalnymi rezultatami i przedstawiłeś je na wykresie U_C(t). Zakładam też, że znasz pojemność kondensatora C. Zatem możesz sprawdzić zależność wyrażoną wzorem 5. Sprawdź czy ona jest prawdziwa i oblicz wartość R. Zrób taki eksperyment także dla rozładowywania kondensatora. To są Twoje zadania w tym ćwiczeniu.

______ ______

Pokażę Ci jak ja wykonałem taki eksperyment - wykres funkcji U_C(t) jest powyżej. Przekształciłem wzór 5 w następujący sposób.

Otrzymałem zależność liniową: y = -t/τ     gdzie:   y = ln( (E - U_C(t))/E )   oraz    τ = RC.
Teraz mogę wykorzystać tę samą tabelę wyników eksperymentalnych i sporządzić wykres funkcji y(t). Dostałem wykres jak poniżej. W celu dopasowania prostej do punktów eksperymentalnych użyłem metody najmniejszych kwadratów.

Jest sukces, zależność wyrażona wzorem 5 została potwierdzona. Z wykresu widać, i otrzymałem to z zastosowania metody najmniejszych kwadratów, że nachylenie prostej jest równe:

τ^-1 = 4/20 msec^-1     Zatem stała czasowa RC jest równa: τ = 5 msec

Użyłem w eksperymencie kondensatora o pojemności 5uF (5uF = 5•10^-6F). Kondensator był ładowany przez rezystancję R. Jest łatwo obliczyć wartość tej rezystancji, bowiem:

τ = RC    zatem mamy    5ms = R•5uF     R = 5ms/5uF      R = 10^-3sec/10^-6F      R = 10³Ω

Innymi słowy wartość rezystancji była równa 1kΩ.

• Powtórz tę procedurę w Twoim eksperymencie (użyj swoich danych pomiarowych).

• Spróbuj rozszerzyć to ćwiczenie i wykreśl funkcje I(t) oraz U_R(t).

• Zrób taki sam eksperyment dla rozładowywania kondensatora. Oczywiście również wylicz wartość rezystancji R przez którą rozładowywałeś kondensator C.

Powodzenia :)